Geometrie: Kreis, Zylinder, Kegel, Kugel als eine Transformation
Flächeninhalt, Umfang, Volumen und Oberfläche für Kreis, Zylinder, Kegel und Kugel - mit einer Zeichnung, die zeigt, wie die vier Formen zusammenhängen.
Der Flächeninhalt eines Kreises ist A = π · r²: Radius im Quadrat, mal π (rund 3,14159). Bei Radius 5 cm sind das 78,54 cm². Wähl eine Form, gib den Radius ein, und du bekommst Fläche, Umfang, Volumen und Oberfläche - je nachdem, ob du Kreis, Zylinder, Kegel oder Kugel rechnest.
Die 2D-Basis. Schieb sie hoch, spitz sie zu oder dreh sie - daraus werden die drei Körper.
Radius: 5 cm · Durchmesser: 10 cm
Formel zeigen
A = π · r2 = π · 52 = 78,54 cm²
U = 2 · π · r = 2 · π · 5 = 31,42 cm
d = 2 · r = 2 · 5 = 10 cm
Wie hängen Kreis, Zylinder, Kegel und Kugel zusammen?
Die vier Formen sind keine vier getrennten Themen, sondern eine Familie mit demselben Kreis als Basis. Genau das zeigt die Zeichnung im Rechner: ein Kreis, drei Verwandlungen. Die meisten Rechner trennen das in vier eigene Seiten - hier siehst du den roten Faden.
- Kreis - die flache 2D-Basis. Nur ein Radius, keine Höhe.
- Zylinder - der Kreis gerade nach oben gezogen (extrudiert). Gleiche Grundfläche, dazu eine Höhe.
- Kegel - der Kreis nach oben zu einem Punkt zugespitzt. Gleiche Grundfläche, eine Spitze statt Deckel.
- Kugel - der Kreis um seine eigene Achse gedreht. Keine Höhe nötig, nur der Radius.
Weil alle vier denselben Kreis teilen, steckt die Kreisfläche π · r² in jeder Formel wieder. Für die eckigen Verwandten - Dreieck, Prisma, Pyramide - gibt es dasselbe Prinzip im Schwester-Tool Geometrie: Dreieck & 3D-Varianten.
Welche Formeln stecken dahinter?
Jede Formel baut auf der Kreisfläche A = π · r² und dem Umfang U = 2 · π · r auf. Klick im Rechner auf "Formel zeigen", dann erscheinen sie mit deinem Radius und Ergebnis - bei den meisten Zeilen auch mit dem eingesetzten Zwischenschritt, praktisch, wenn du den Rechenweg für Hausaufgaben oder eine Prüfung nachvollziehen willst.
| Form | Volumen | Oberfläche |
|---|---|---|
| Zylinder | π · r² · h | 2 · π · r² + 2 · π · r · h |
| Kegel | ⅓ · π · r² · h | π · r² + π · r · s |
| Kugel | (4/3) · π · r³ | 4 · π · r² |
Beim Kegel ist s die schräge Höhe, also die Strecke von der Spitze zum Rand der Grundfläche. Sie folgt aus dem Satz des Pythagoras: s = √(r² + h²). Du siehst s separat ausgewiesen, damit du die Mantelfläche nachrechnen kannst.
Radius oder Durchmesser - was gebe ich ein?
Der Radius ist die Strecke vom Mittelpunkt zum Rand, der Durchmesser geht einmal quer durch und ist genau doppelt so lang. Eine Pizza mit 30 cm Durchmesser hat 15 cm Radius. Beide zu verwechseln ist die häufigste Fehlerquelle bei Kreisrechnungen.
Deshalb gibt es im Rechner einen Umschalter: Du tippst entweder Radius oder Durchmesser ein, und der jeweils andere Wert steht live daneben. So rechnest du nicht versehentlich mit dem doppelten Wert. Hilfreich, wenn deine Aufgabe in Durchmessern formuliert ist, die Formeln aber den Radius brauchen.
Oberfläche, Mantelfläche oder Grundfläche - was ist was?
Beim Zylinder und Kegel gibt es drei verschiedene Flächen, und sie werden leicht durcheinandergeworfen. Kurz gesagt: die Oberfläche ist alles zusammen, die Mantelfläche nur die Seite, die Grundfläche nur der Boden.
- Grundfläche - der Kreis unten, also π · r². Beim Zylinder zählt derselbe Kreis oben und unten.
- Mantelfläche - die gebogene Seitenwand. Beim Zylinder ein aufgerolltes Rechteck, beim Kegel ein Tortenstück.
- Oberfläche - alle Außenflächen zusammen. Eine Dose, die du komplett lackieren willst, braucht die Oberfläche; nur das Etikett rundherum die Mantelfläche.
Beim Zylinder stehen alle drei Werte gleichzeitig da; in der Zeichnung sind Grundfläche und Mantelfläche farblich getrennt, damit du nicht raten musst, welche Zahl zu welcher Fläche gehört.
Wo begegnet man diesen Formen im Alltag?
Runde Körper stecken in fast jedem Haushalt, und die Formeln beantworten konkrete Fragen: Wie viel passt rein, wie viel Material brauche ich, wie schwer wird es.
- Konservendose oder Wassertank - ein Zylinder. Das Volumen sagt dir, wie viele Liter reinpassen; der Rechner zeigt es direkt in Litern, m³ und US-Gallonen.
- Eishörnchen oder Schüttgut-Haufen - ein Kegel. Volumen und schräge Höhe in einem.
- Globus, Ball oder Murmel - eine Kugel. Oberfläche für die Bemalung, Volumen für das Gewicht bei bekannter Dichte.
Brauchst du danach noch andere Zahlenarbeit, helfen der Prozent-Rechner für Anteile und der Große-Zahlen-Namen für sehr große Ergebnisse.
Häufige Fragen
Wie berechnet man das Volumen eines Zylinders?
Das Zylinder-Volumen ist V = π · r² · h: die Kreisfläche der Grundfläche, mal der Höhe. Ein Zylinder mit Radius 5 cm und Höhe 10 cm fasst π · 25 · 10 = 785,4 cm³, also rund 0,79 Liter. Radius und Höhe müssen dabei in derselben Einheit stehen.
Warum ist das Kugel-Volumen (4/3) · π · r³ und nicht π · r³?
Der Faktor 4/3 kommt aus der Herleitung über die Integralrechnung. Anschaulich: Eine Kugel füllt zwei Drittel des kleinsten Zylinders, in den sie genau hineinpasst. Du musst das nicht selbst herleiten - der Rechner setzt den Faktor korrekt ein. Wichtig ist nur, dass beim Kugel-Volumen der Radius in die dritte Potenz geht, nicht ins Quadrat.
Kann ich in verschiedenen Einheiten rechnen?
Ja. Über den Einheiten-Umschalter wählst du Millimeter, Zentimeter, Meter, Zoll (inch) oder Fuß (ft). Das Ergebnis rechnet sich sofort um. Bei Volumen siehst du zusätzlich eine Parallel-Anzeige in Litern, Kubikmetern und US-Gallonen, damit du den Wert nicht im Kopf umrechnen musst.