Geometrie: Dreieck, Prisma, Pyramide mit Pythagoras-Beweis

Ein Geometrie-Rechner für alles mit Ecken: rechtwinkliges und allgemeines Dreieck, Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis, dazu Prisma, Quader, Würfel, Pyramide und Tetraeder. Du tippst Werte ein oder ziehst die Ecken direkt im Bild - und den Satz des Pythagoras gibt es mit sichtbarem Beweis statt als Merksatz.

Wie berechnet man die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks?

Die Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks und liegt dem rechten Winkel gegenüber. Sie folgt aus dem Satz des Pythagoras: c = √(a² + b²). Mit den Katheten a = 3 und b = 4 ergibt das c = √(9 + 16) = 5.

Im Modus Rechtwinklig gibst du die beiden Katheten ein oder ziehst eine Ecke im Bild; Fläche (a · b / 2) und Umfang rechnen live mit. Der umgekehrte Weg geht auch: Tippst du eine Hypotenuse ein, passt sich die zweite Kathete über √(c² − a²) an, damit das Dreieck rechtwinklig bleibt. Nur wenn deine Werte zusammen kein rechtwinkliges Dreieck ergeben können (etwa eine Hypotenuse, die kürzer ist als eine Kathete), erscheint ein Warnhinweis.

Warum stimmt der Satz des Pythagoras?

Zeichne über jede Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ein Quadrat: Die beiden kleinen Quadrate a² und b² haben zusammen exakt die Fläche des großen Quadrats c². Diese Quadrat-Idee steht so bei Euklid (Buch I, Satz 47) - und sie lässt sich zeigen, nicht nur behaupten.

Der Knopf „Beweis zeigen“ führt das vor: Die Flächen a² und b² werden flächentreu ins Quadrat c² umgeordnet, bis es lückenlos gefüllt ist - eine anschauliche Flächen-Demonstration der klassischen Beweis-Idee, keine formale Herleitung. Du siehst die Gleichung als Flächen-Identität. Zieh danach eine Ecke des Dreiecks und beobachte, wie die drei Quadrate mitwachsen; das Verhältnis bleibt bestehen. Wer Animationen im System reduziert hat, sieht den Endzustand als Standbild mit derselben Aussage.

Wie löst du ein Dreieck ohne rechten Winkel?

Im Modus Allgemein reichen drei passende Werte aus Seiten und Winkeln - den Rest übernehmen Cosinus- und Sinussatz. Der Cosinussatz c² = a² + b² − 2ab · cos(γ) ist dabei der verallgemeinerte Pythagoras: Bei γ = 90° fällt der Cosinus-Term weg, übrig bleibt c² = a² + b².

Welcher Satz rechnet, hängt von deiner Eingabe ab:

• Drei Seiten: Die Winkel folgen aus dem Cosinussatz - vorausgesetzt, die längste Seite ist kürzer als die Summe der beiden anderen.
• Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel: Die dritte Seite kommt aus dem Cosinussatz, die restlichen Winkel danach.
• Eine Seite und zwei Winkel: Der dritte Winkel ergänzt auf 180°, der Sinussatz a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ) skaliert die Seiten.
• Drei Winkel ohne Seite: Das legt nur die Form fest, nicht die Größe - gezeichnet wird mit a = 1 und einem Hinweis dazu.

Auch hier kannst du Ecken ziehen: Ein Eckpunkt schreibt das ganze Seiten-Tripel und setzt getippte Winkel zurück. Zwei Seiten mit einem nicht eingeschlossenen Winkel (der SSW-Fall) sind mehrdeutig - diese Kombination löst der Rechner nicht. Die Fläche kommt in jedem Fall aus der Heron-Formel, direkt aus den drei Seiten.

Wie hängen Pythagoras-Satz und Trigonometrie zusammen?

Über den Einheitskreis, einen Kreis mit Radius 1. Jeder Punkt auf ihm hat die Koordinaten (cos α, sin α) - und weil der Radius die Hypotenuse eines kleinen rechtwinkligen Dreiecks ist, gilt sin²(α) + cos²(α) = 1. Das ist der Satz des Pythagoras, nur in Trigonometrie-Schreibweise.

Im Trigonometrie-Modus stellst du den Winkel in Grad oder Radiant ein und siehst Sinus (die Höhe), Cosinus (die Breite) und Tangens (die Steigung) als farbige Linien am Kreis. Bei 90° und 270° bleibt der Tangens ohne Wert - der Cosinus ist dort 0, die Linie wird senkrecht. Der Einheitskreis hier ist übrigens derselbe Kreis wie im Rechner Geometrie: Kreis & 3D-Varianten: dort Radius, Fläche und runde Körper, hier die Winkel, die bei Dreiecken zu Sinus und Cosinus werden.

Wie berechnet man das Volumen einer Pyramide?

Pyramiden-Volumen = ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe. Eine quadratische Pyramide mit Basis-Seite 6 und Höhe 4 fasst also ⅓ · 36 · 4 = 48 Kubikeinheiten. Der Faktor ⅓ ist kein Zufall: Drei Pyramiden mit gleicher Grundfläche und Höhe haben zusammen genau das Volumen des zugehörigen Prismas.

Die Oberfläche steht jeweils daneben - beim Prisma zusätzlich die Mantelfläche, bei der quadratischen Pyramide die schräge Höhe, beim Tetraeder die Höhe. Der reguläre Tetraeder ist der Sonderfall mit vier gleichseitigen Dreiecken: Bei Kantenlänge 6 fasst er rund 25,5 Kubikeinheiten, seine Höhe folgt aus h = a · √(2/3). Im Bild siehst du die Körper räumlich mit Tiefen-Schattierung, bei Quader und Prisma mit gestrichelten verdeckten Kanten. Viele Maße lassen sich auch hier direkt im Bild ziehen - die Quader-Kanten, die Pyramiden-Spitze, die Tetraeder-Kante; ein paar Werte (etwa zwei Seiten des Dreiecks-Prismas) gibst du nur per Eingabefeld ein.

Mehr aus der Mathe-Ecke von Toolflux: der Prozent-Rechner für Anteile und Rabatte, Große Zahlen Namen für die Frage, was nach der Billion kommt.

Häufige Fragen

Was ist die schräge Höhe einer Pyramide?

Die schräge Höhe ist der Abstand von der Spitze zur Mitte einer Basiskante - gemessen auf der Seitenfläche, nicht senkrecht durch den Körper. Bei einer geraden quadratischen Pyramide (Spitze über dem Mittelpunkt) gilt s = √(h² + (a/2)²); mit Basis-Seite 6 und Höhe 4 also s = 5. Gebraucht wird sie für die Mantelfläche, denn die Seitendreiecke sind so hoch wie die schräge Höhe.

Warum ist der Tangens bei 90 Grad nicht definiert?

Der Tangens ist Sinus geteilt durch Cosinus - und bei 90 Grad ist der Cosinus 0. Eine Division durch 0 hat kein Ergebnis: Am Einheitskreis wird die Tangens-Linie senkrecht und schneidet die Tangente nie. An diesen Stellen siehst du einen Hinweis statt eines Werts.

Was passiert bei Werten, die kein Dreieck ergeben?

In den Dreiecks-Modi (Rechtwinklig, Allgemein) bekommst du einen Warnhinweis statt eines stillen Ergebnisses. Drei Seiten müssen die Dreiecksungleichung erfüllen (die längste Seite ist kürzer als die Summe der beiden anderen), drei Winkel müssen zusammen 180 Grad ergeben. Negative Längen rechnet der Rechner als Betrag; bei Grad-Eingabe im Trigonometrie-Modus führt er Winkel über 360 auf den Kreis zurück.